Question

如圖，在邊長為1的等邊三角形ABC中，若將兩條含120°圓心角的

AOB

、

BOC

及邊AC所圍成的陰影部分的面積記為S，則S與△ABC面積的比等于（　　）

• A、

  1

  2

• B、

  1

  3

• C、

  1

  4

• D、

  1

  6

Answer 1

分析：欲求S與△ABC面積的比，可以推出點O就是弧AOB，弧BOC的中點，畫出弧AOB的圓心D，連接DO，再根據等邊三角形的性質，圓周角定理及弧長公式求解．

解答：解：可以推出點O就是弧AOB，弧BOC的中點，
畫出弧AOB的圓心D，連接DO，
由于∠ADB=120°，AB=1，可得弧AOB的半徑r=

3

3

，∠ADO=60°．
設陰影部分的上半部分面積是S₁，下半部分的面積是S₂，
則S₁=2[π（

3

3

）²×

1

6

-（

3

3

）²×

3

4

]=

π

9

-

3

6

，
弧AOB在三角形ABC的部分，的面積為：
T=π（

3

3

）²×

1

3

-（

3

3

）²×

3

4

=

π

9

-

3

12

；
所以S₂=△ABC面積-2T+S₁=

3

4

-2（

π

9

-

3

12

）+（

π

9

-

3

6

）=

3

4

-

π

9

；
∴S=S₁+S₂=

3

12

，
S與△ABC面積的比=

3

12

：

3

4

=

1

3

；
故選B．

點評：可以再作出弧AC，即可看出它們之間的關系．