Question

如圖，在一些大小相等的正方形內分別緊密排列著一些等圓．

（1）根據你的觀察與分析，你認為正方形內圓的數目是否呈規律性的變化？如果是，則第n個圖形中共有

n²

個圓；
（2）若正方形的邊長是a，分別計算圖①、②、③中陰影部分的面積；
（3）分析（2）中計算的結果，你有什么發現？請你求出第n個圖形中陰影部分的面積來說明你的發現．

Answer 1

分析：（1）觀察上圖可知第①個圖形圓的個數是1²=1，第②個圖形圓的個數是2²=4，第③個圖形圓的個數是3²=9，第④個圖形圓的個數是4²=16，第⑤個圖形圓的個數是5²=25，第⑥個圖形圓的個數是6²=36；由（1）可知第n個正方形中圓的個數為n²個；
（2）分別計算陰影部分的面積后即可得到答案；
（3）同樣計算陰影部分面積與上題結論相同，從而得到結論．

解答：解：（1）圖形①圓的個數是1，
圖形②圓的個數是4，
圖形③圓的個數是9，
圖形④圓的個數是16，
圖形⑤圓的個數是25，
圖形⑥圓的個數是36；
第n個正方形中圓的個數為n²個；

（2）圖①中 S陰影=a2-π•(

a

2

)2=

4-π

4

a2
圖②中 S陰影=a2-4•π•(

a

4

)2=

4-π

4

a2
圖③中  S陰影=a2-9•π•(

a

6

)2=

4-π

4

a2；

（3）三個圖形中陰影部分的面積均相等，與圓的個數無關．
第n圖形中陰影部分的面積是S陰影=a2-n•π•(

a

2n

)2=

4-π

4

a2
它是一個與n的取值無關的數值，
因此：按以上規律得到的所有圖形的陰影部分的面積
是一個與n無關的定值．

點評：考查了規律型：圖形的變化，認真觀察圖形，發現圖形的變化規律，得出第n個正方形中圓的個數為n²個是此題的關鍵．