Question

如圖，已知菱形ABCD的邊長為2，∠B=60°，點P、Q分別是邊BC、CD上的動點（不與端點重合），在運動過程中，保持∠PAQ=60°不變．
（1）試說明：△PAQ是等邊三角形；
（2）求四邊形APCQ的面積；
（3）填空：當BP=

1

時，S_△PCQ最大．

Answer 1

分析：（1）利用證明三角形ACP和三角形ADQ全等證AP=AQ，結合角PAQ等于60度，便得△PAQ是等邊三角形；
（2）根據三角形ACP和三角形ADQ全等，則四邊形APCQ的面積等于三角形ABC或者三角形ACD的面積．
（3）要使三角形PCQ的面積最大，只要等邊三角形APQ的面積最小即AP⊥BC時即可．

解答：解：（1）在菱形ABCD中，∵∠B=60°，∴△ABC是等邊三角形，
∴AB=BC=AC，
∴AC=CD，
∵∠PAQ=60°，
∴∠CAP=∠DAQ，
∴△ACP≌△ADQ，
∴AP=AQ，
∴△PAQ是等邊三角形；

（2）∵△ACP≌△ADQ，∴S_△ACP=S_△ADQ，
即S_{四邊形APCQ}=S_△ACD=

1

2

×2×

3

=

3

；

（3）∵△PAQ是等邊三角形，
∴當AP⊥BC時，三角形APQ的面積最小，則三角形PCQ的面積最大．
此時BP=1，
故答案為1．

點評：本題考查了菱形的性質、全等三角形的判定和性質以及等邊三角形的判定，有一個角等于60度的等腰三角形是等邊三角形．