Question

如圖，在等腰梯形ABCD中，∠DCB=60°，AD∥BC，且AD=DC． E，F分別在AD，DC的延長線上，且DE=CF、AF，BE交于點P，且分別交DC，BC于點H，G．
（1）求證：AF=BE；
（2）請你猜測∠BPF的度數，并證明你的結論；
（3）延長BA，CD相交于M，若AD=24，BP=27，試求三角形MBP和三角形MBH的面積比．

Answer 1

分析：（1）根據SAS判定△BAE≌△ADF，由全等三角形的性質得出BE=AF．
（2）由△BAE≌△ADF得出∠ABE=∠DAF，進而得到∠BPF=∠BAE，再根據AD與BC平行，得出∠BPF的度數．
（3）延長BA，CD交于點M，首先證明△ABP∽△HBM，根據相似三角形的對應邊成比例，求出HB的長度，再根據同高的三角形的面積之比等于其對應的底邊長之比得出三角形MBP和三角形MBH的面積比．

解答：解：（1）∵AB=CD，AD=DC，
∴BA=AD，∠BAE=∠ADF，
∵DE=CF，
∴AE=DF，
∴△BAE≌△ADF（SAS）．
∴BE=AF．（3分）

（2）猜測∠BPF=120°．（1分）
∵由（1）△BAE≌△ADF，
∴∠ABE=∠DAF．
∴∠BPF=∠ABE+∠BAP=∠DAF+∠BAP=∠BAE．
而AD∥BC，∠DCB=∠ABC=60°，
∴∠BPF=120°．（3分）

（3）延長BA，CD交于點M，則△MBC為正三角形．
∵∠BPF=120°，
∴∠APB=∠M=60°．
而∠ABP=∠HBM，
∴△ABP∽△HBM．
∴

AB

HB

=

BP

BM

，即

24

HB

=

27

48

．
∴HB=

128

3

則S_△MBP：S_△MBH=BP：BH=81：128．（5分）

點評：本題考查了全等三角形的判定及其性質、相似三角形的判定及其性質、以及同高的三角形的面積之比等知識．