Question

已知關于x的一元二次方程（a-3）x²-4x-1=0
（1）若方程有兩個相等的實數根，求a的值及此時方程的根；
（2）若方程有兩個不相等的實數根，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）關于x的一元二次方程（a-3）x²-4x-1=0有兩個相等的實數根，可知二次項系數不為0且判別式等于0；
（2）關于x的一元二次方程（a-3）x²-4x-1=0有兩個不相等的實數根，可知二次項系數不為0且判別式大于0．

解答：解：（1）∵關于x的一元二次方程（a-3）x²-4x-1=0有兩個相等的實數根，
∴

a-3≠0 16-4(a-3)•(-1)=0

，
∴a=-1，
方程為-4x²-4x-1=0，
即4x²+4x+1=0，
解得（2x+1）²=0，
x₁=x₂=-

1

2

．

（2））∵關于x的一元二次方程（a-3）x²-4x-1=0有兩個不相等的實數根，
∴

a-3≠0 16-4(a-3)•(-1)＞0

，
∴a＞-1且a≠3．

點評：本題考查了一元二次方程根的情況與判別式△的關系：
（1）△＞0?方程有兩個不相等的實數根；
（2）△=0?方程有兩個相等的實數根；
（3）△＜0?方程沒有實數根．