Question

如圖，半徑為的⊙O內有兩條互相垂直的兩條弦AB、CD相交于P點。

（1）求證：PA·PB=PC·PD；
（2）設BC中點為F，連接FP并延長交AD于E，求證：EF⊥AD；
（3）若AB=8，CD=6，求OP的長。

Answer 1

解：（1）證明：∵∠A、∠C所對的圓弧相同，
∴∠A=∠C
∴Rt△APD∽Rt△CPB，
∴，
∴P·PB=PC·PD；
（2）證明：∵F為BC中點，△BPC為Rt△，
∴FP=FC，
∴∠C=∠CPF，
又∠C=∠A，∠DPE=∠CPF，
∴∠A=∠DPE，
∵∠A+∠D=90°，
∴∠DPE+∠D=90°，
∴EF⊥AD；
（3）作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，由垂徑定理：
∴OM²=-4²=4，ON²=-3²=11，又易證四邊形MONP是矩形，
∴OP=。