Question

如圖：兩個同心圓的圓心是O，AB是大圓的直徑，大圓的弦AC與小圓相切于點D，連接OD并延長交大圓于點E，連接BE交AC于點F．
（1）已知tan∠B=

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，且大、小兩圓半徑差2，求大圓的半徑．
（2）試判斷EC與過B、F、C三點的圓的位置關系，并證明．
（3）在（1）的條件下，延長EC、AB交于 G，求sin∠G．

Answer 1

分析：（1）利用已知首先得出tan∠C=

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，再利用大、小兩圓半徑差為2，得出DE=2，再利用勾股定理求出大圓半徑；
（2）首先證明∠ECF=∠CBF，進而得出∠O′CF+∠ECF=90°，即∠ECO′=90°，即可得出答案；
（3）先證明四邊形ONCB為平行四邊形，進而得出NH=EH=

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，即可求出sin∠G=sin∠DCN的值．

解答：解：（1）∵∠ABE=∠ACE，tan∠B=

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，
∴tan∠ACE=

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，
而OD⊥AC，
∵大、小兩圓半徑差為2，
∴DE=2，
故AD=DC=2

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，在Rt△AOD中，可求得DO=1，
半徑AO=3；

（2）EC是過B、F、C三點的切線．
證明：連接BC，
設過B、F、C三點的圓的圓心為O′，則⊙O′的直徑為BF，連接O′C，
則O′C=O′F，
∠O′FC=O′CF，
∵AE=CE，
∴∠ECF=∠CBF，
而∠O′FC+∠CBF=90°，
∠O′CF+∠ECF=90°，
即∠ECO′=90°，
故EC是⊙O′的切線．

（3）過C作CM∥AB交DE于N，過N作HN⊥EC，
∵BC∥DO，
∴四邊形ONCB為平行四邊形，
∴ON=BC=2，
∴NE=1，又Rt△EHN中，
可求得NH=

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3

，
∵NC=OB=3，
在Rt△NCH中，
sin∠G=sin∠HCN=

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．

點評：此題主要考查了相交兩圓的性質以及銳角三角函數的定義等知識，根據已知得出正確輔助線過C作CM∥AB交DE于N，進而得出四邊形ONCB為平行四邊形是解題關鍵．