Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°．AB=BC．點D是線段AB上的一點，連結CD．過點B作BG⊥CD，分別交CD、CA于點E、F，與過點A且垂直于AB的直線相交于點G，連結DF，給出以下四個結論：①；②若點D是AB的中點，則AF＝AB；③當B、C、F、D四點在同一個圓上時，DF=DB；④若，則S△ABC＝9S△BDF，其中正確的結論序號是______．

Answer 1

【答案】①②③

【解析】

由△AFG∽△CFB，可確定結論①正確；由△ABG≌△BCD可得AG=AB=BC，進而由△AFG∽△CFB確定點F為AC的三等分點，可確定結論②正確；當B、C、F、D四點在同一個圓上時，由圓內接四邊形的性質得到∠CFD=∠ABC=90°，得到CD為圓的直徑，因為BG⊥CD，根據垂徑定理得到DF=DB，故③正確；因為D為AB的三等分點，△AFG∽△CFB，所以所以S△ABF=S△ABC，又S△BDF=S△ABF，所以S△ABC=12S△BDF，由此確定結論④錯誤．

解：依題意可得BC∥AG，

∴△AFG∽△CFB，

∴，

又AB=BC，

∴．故結論①正確；

如圖，

∵∠1+∠3=90°，∠1+∠4=90°，

∴∠3=∠4．

在△ABG與△BCD中，

，

∴△ABG≌△BCD（ASA），

∴AG=BD，

又∵BD=AD，

∴AG=AD；

∵△ABC為等腰直角三角形，

∴AC=AB；

∴AG=AD=AB=BC；

∵△AFG∽△BFC，

∴，

∴FC=2AF，

∴AF=AC=AB．故結論②正確；

當B、C、F、D四點在同一個圓上時，

由圓內接四邊形的性質可得∠CFD=∠ABC=90°

∴CD是B、C、F、D四點所在圓的直徑，

∵BG⊥CD，

∴，

∴DF=DB，故③正確；

∵，AG=BD，，

∴，

∴S△BDF=S△ABF，，

∴AF=AC，

∴S△ABF=S△ABC；

∴S△BDF=S△ABC，即S△ABC=12S△BDF．故結論④錯誤．

∴正確的結論有①②③；

故答案為：①②③.