Question

【題目】在平面直角坐標系中，A（a，0），B（b，0），C（﹣1，c）（見圖1），且 ．

（1）求a、b、c的值；

（2）①在x軸的正半軸上存在一點M，使三角形COM的面積是三角形ABC的面積的一半，求出點M的坐標；

②在坐標軸的其它位置是否存在點M，使三角形COM的面積三角形ABC的面積的一半仍然成立? 若存在，請直接寫出符合條件的點M的坐標；

（3）如圖2，過點C作CD⊥y軸交y軸于點D，點P為線段CD延長線上的一動點，連接OP，OE平分∠AOP，OF⊥OE．當點P運動時，的值是否會改變？若不變，求其值；若改變，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）a=-2，b=3，c=2；（2）①M（，0）或（-，0）,②存在，滿足條件的點M坐標為（0，5）或（0，-5）；（3）結論：的值是定值，=2．

【解析】

（1）根據絕對值、二次根式和平方的非負性，可得到，（c-2）2=0，計算即可解得a、b、c的值；

（2）由（1）可知A（-2，0），B（3，0），分情況討論：①由題意設點M的坐標為（x，0），在OM=，結合△COM的面積是△ABC面積的一半，列出方程，解方程結合點M在x軸的正半軸即可求得此時點M的坐標；

②由①中的結果可得點M在x軸負半軸時的坐標；當M在y軸上時，可設點M的坐標為（0，y），結合△COM的面積是△ABC面積的一半，列出方程，解方程即可求得點M在y軸上的符合條件的坐標；

（3）由題意易證∠AOE+∠FOG=90°，∠FOG=∠POF，∠DOE=∠FOG，由此可得到∠OPD=∠POG=2∠FOG，從而可得=2.

（1）因為，根據絕對值、二次根式和平方的非負性，可以得到，（c-2）2=0，解得到a=-2，b=3；因為（c-2）2=0，所以c=2，故a=-2，b=3，c=2；

（2）解：由（1）可知A（-2，0），B（3，0），則分情況討論點M：

①當M在x軸上時，設M（m，0），由題意：|m|2=5，

∴m=±，

∴M（，0）或（-，0）．

②當M在y軸上時，設M（0，m），由題意：|m|1=52，

∴m=±5，

∴M（5，0）或（0，-5），

綜上所述，滿足條件的點M坐標為M（，0）或（-，0）或（0，5）或（0，-5）．

（3）解：如圖中，結論：的值是定值，=2．

理由：∵OE⊥OF，

∴∠EOF=90°，

∴∠AOE+∠FOG=90°，

∵∠AOE=∠EOP，∠EOP+∠POF=90°，

∴∠FOG=∠POF，

∵∠DOE+∠AOE=90°，∠AOE+∠FOG=90°，

∴∠DOE=∠FOG，

∵CP∥AG，

∴∠OPD=∠POG=2∠FOG，

∴∠OPD=2∠FOG，

∴=2．