Question

已知關于x的方程x²-（k+1）x+（2k-2）=0．
（1）求證：無論k取何值，此方程總有實根；
（2）若兩⊙O₁、⊙O₂相切，O₁O₂=5，且兩圓半徑r₁、r₂恰好是此方程的兩根，求k的值．

Answer 1

（1）證明：∵△=b²-4ac
=[-（k+1）]²-4×（2k-2）
=k²-6k+9
=（k-3）²；
∴△=（k-3）²≥0，
∴無論k取任何實數時，方程總有實數根．

（2）解：x²-（k+1）x+（2k-2）=0．
（x-2）（x-k+1）=0，
∴x₁=2，x₂=k-1．
當兩⊙O₁、⊙O₂內切時，k-1-2=5，解得k=8；
當兩⊙O₁、⊙O₂外切時，k-1+2=5，解得k=4．
故k的值為8或4．
分析：（1）根據一元二次方程根的判別式，當△≥0時，方程有兩個實數根，所以只需證明△≥0即可．
（2）方程x²-（k+1）x+（2k-2）=0可以變形為（x-2）（x-k+1）=0，可知兩根為2和k-1．再分內切和外切兩種情況討論列方程求解．
點評：考查解一元二次方程，圓與圓的位置關系與數量關系間的聯系，及一元二次方程根的情況與判別式△的關系：
（1）△＞0?方程有兩個不相等的實數根；（2）△=0?方程有兩個相等的實數根；（3）△＜0?方程沒有實數根．