Question

已知：a，b，c是△ABC的三邊長，c為整數，拋物線y=x²-（a+b）x+c²-8a-8與x軸相交于點M，N（點M在N的左側），頂點為P，點（a-bsinC，m）與點（asinC-b，m）關于y軸對稱．
（1）判斷△ABC的形狀；
（2）若拋物線與直線y=x-14相交于點P和D（6，-8），在拋物線上求作一點Q，使∠QMP=90°．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據點（a-bsinC，m）與點（asinC-b，m）關于y軸對稱，可得兩點的橫坐標互為相反數，由此可求得a、b的關系式，即可得出△ABC的形狀．
（2）首先求出點P的坐標，再將P點坐標代入直線y=x-14中①，將D代入拋物線的解析式中②，聯立①②所得式子，即可求出拋物線的解析式，進而可確定M、P的坐標；易求得直線MP的解析式，若∠QMP=90°，則直線MQ與直線MP的斜率的積為-1，不難求得直線MQ的解析式聯立拋物線的解析式即可求出Q點的坐標．
解答：解：（1）∵點（a-bsinC，m）與點（asinC-b，m）關于y軸對稱，
∴a-bsinC+asinC-b=（a-b）+（a-b）sinC=（a-b）（sinC+1）=0；
∵0°＜∠C＜180°，即sinC+1≠0，
∴a=b；即△ABC是等腰三角形．

（2）由（1）知：a=b，則y=x²-2ax+c²-8a-8，P（a，c²-a²-8a-8）；
∵P點在直線y=x-14的圖象上，
∴a-14=c²-a²-8a-8；①
∵拋物線過D（6，-8），
∴36-12a+c²-8a-8=-8；②
聯立①②，得：
，
解得（c取整數）；
∴拋物線的解析式為y=x²-10x+16，P（5，-9），M（2，0），N（8，0）；
設直線MP的解析式為y=kx+b（k≠0），則：
，
解得；
∴直線MP的解析式為y=-3x+6；
設直線MQ的解析式為y=mx+n（m≠0），由于∠PMQ=90°，
得mk=-1，即m=；
則y=x+n；已知M點坐標為（2，0），則有：+n=0，n=-；
∴直線MQ的解析式為y=x-；
聯立拋物線的解析式，得：
，
解得，；
∴Q點的坐標為（，）．
點評：此題是二次函數的綜合題，涉及到三角函數、軸對稱的性質、二次函數解析式的確定、函數圖象交點坐標的求法等．難度較大．