Question

如圖，E為邊長為1的正方形ABCD的對角線BD上一點，且BE=BC，P為CE上任一點，PQ⊥BC于Q，PR⊥BE于R．有下列結論：①△PCQ∽△PER；②；③；④．其中正確的結論的個數是（ ）

A．1
B．2
C．3
D．4

Answer 1

【答案】分析：①根據兩角對應相等的兩個三角形相似，即可證出；
②作△DCE的邊DC上的高EF，根據三角形的面積公式即可得出△DCE的面積；
③解直角△CEF，即可求出∠DCE的正切值；
④連接BP，利用面積法求解，PQ+PR的值等于C點到BE的距離，即正方形對角線的一半．
解答：解：①∵BE=BC，∴∠QCP=∠REP，又∵∠PQC=∠PRE=90°，∴△PCQ∽△PER，故正確；

②作△DCE的邊DC上的高EF．∵BE=BC=1，∴DE=BD-BE=-1，∵△DEF是等腰直角三角形，∴EF=DF=DE=，∴S_△DCE=CD•EF=，故正確；

③在△CEF中，∠EFC=90°，EF=，CF=CD-DF=1-=，∴tan∠DCE==-1，故正確；

④連接BP，過C作CM⊥BD于M．∵BC=BE，∴S_△BCE=S_△BPE+S_△BPC=BC×PQ×+BE×PR×=BC×（PQ+PR）×=BE×，∴PQ+PR=CM，
∵BE=BC=1且正方形對角線BD=，又BC=CD，CM⊥BD，∴M為BD中點，又△BDC為直角三角形，
∴CM=BD=，∴PQ+PR=，故正確．
故選D．
點評：本題考查了正方形的性質，三角函數的定義，解直角三角形，相似三角形的判定與性質，綜合性較強，有一定難度．解題關鍵是作出正確的輔助線．