Question

如圖，直線y=-

1

2

x+3與雙曲線y=

k

x

（x＞0）相交于B，D兩點，交x軸于C點，若點D是BC的中點，則k=（　　）

• A、1
• B、2
• C、3
• D、4

Answer 1

分析：首先根據直線y=-

1

2

x+3可以求出 C的坐標，然后設B（x₁，y₁），D（x₂，y₂），由D是BC中點得到 2x₂=x₁+6 ①，
聯立方程y=-

1

2

x+3，y=

k x

，然后消去y得

1

2

x²-3x+k=0，接著利用韋達定理可以得到 x₁+x₂=6②，x₁x₂=2k③，聯立它們即可求解．

解答：解：∵直線y=-

1

2

x+3，
∴當y=0時，x=6，
∴C（6，0），
設B（x₁，y₁），D（x₂，y₂），
∵D是BC中點，
那么 2x₂=x₁+6，
∴x₁=2x₂-6①，
聯立方程y=-

1

2

x+3，y=

k x

，然后消去y得
-

1

2

x+3=

k x

，
∴

1

2

x²-3x+k=0，
根據韋達定理
x₁+x₂=6②，
x₁x₂=2k③，
用①代入②3x₂-6=6，
∴x₂=4，
∴x₁=2×4-6=2，
由③2k=x₁x₂=8，
那么k=4．
故選D．

點評：此題主要考查了一次函數與反比例函數的交點坐標問題，同時也利用了中點坐標的公式，其中利用方程組和待定系數法確定函數的解析式，是常用的一種解題方法．同學們要熟練掌握這種方法．