Question

（2004•泉州）如圖，菱形ABCD的邊長為12cm，∠A=60°，點P從點A出發沿線路AB?BD做勻速運動，點Q從點D同時出發沿線路DC?CB?BA做勻速運動．
（1）已知點P，Q運動的速度分別為2cm/秒和2.5cm/秒，經過12秒后，P、Q分別到達M、N兩點，試判斷△AMN的形狀，并說明理由；
（2）如果（1）中的點P、Q有分別從M、N同時沿原路返回，點P的速度不變，點Q的速度改為vcm/秒，經過3秒后，P、Q分別到達E、F兩點，若△BEF與題（1）中的△AMN相似，試求v的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）易得△ABD是等邊三角形，經過12秒后，P、Q分別到達M、N兩點，則AP，BF都可以求出，就可以判斷N，F的位置，根據直角三角形的性質，判斷△AMN的形狀；
（2）根據△BEF與△AMN相似得到△BEF為直角三角形，就可以求出S_Q的長，已知時間，就可以求出速度．
解答：解：（1）∵∠A=60°，AD=AB=12，
∴△ABD為等邊三角形，故BD=12，
又∵V_P=2cm/s
∴S_P=V_Pt=2×12=24（cm），
∴P點到達D點，即M與D重合v_Q=2.5cm/s S_Q=V_Qt=2.5×12=30（cm），
∴N點在AB之中點，即AN=BN=6（cm），
∴∠AND=90°即△AMN為直角三角形；

（2）V_P=2m/s t=3s
∴S_P=6cm，
∴E為BD的中點，
又∵△BEF與△AMN相似，
∴△BEF為直角三角形，且∠EBF=60°，∠BPF=30°，
①Q到達F₁處：S_Q=BP-BF₁==3（cm），故V_Q===1（cm/秒）；
②Q到達F₂處：S_Q=BP=9，故V_Q==（cm/秒）；
③Q到達F₃處：S_Q=6+2BP=18，故V_Q===6（cm/秒）．
點評：本題是圖形與函數相結合的問題，正確根據條件得出方程是解題關鍵．