Question

（2007•萊蕪）在平面直角坐標系中，△AOB的位置如圖所示，已知∠AOB=90°，AO=BO，點A的坐標為（-3，1）．
（1）求點B的坐標；
（2）求過A，O，B三點的拋物線的解析式；
（3）設拋物線的對稱軸為直線l，P是直線l上的一點，且△PAB的面積等于△AOB的面積，求點P的坐標．

Answer 1

【答案】分析：（1）作AC⊥x軸，垂足為C，作BD⊥x軸，垂足為D，易證△ACO≌△ODB，就可以求出OD，BD的長，可以得到B點的坐標．
（2）已知A，O，B三點的坐標，利用待定系數法，就可以求出拋物線的解析式．
（3）△PAB的面積等于△AOB的面積，則P點到AB的距離等于O到AB的距離，即△AOB AB邊上的高線長．則過點O作AB的平行線，與拋物線的對稱軸的交點，以及這點關于F的對稱點就是所求的點．
解答：解：（1）作AC⊥x軸，垂足為C，作BD⊥x軸，垂足為D．
則∠ACO=∠ODB=90°，
∴∠AOC+∠OAC=90度．
又∵∠AOB=90°，
∴∠AOC+∠BOD=90°，
∴∠OAC=∠BOD．（1分）
又∵AO=BO，
∴△ACO≌△ODB．（2分）
∴OD=AC=1，DB=OC=3．
∴點B的坐標為（1，3）．（4分）

（2）因拋物線過原點，
故設所求拋物線的解析式為：y=ax²+bx．
將A（-3，1），B（1，3）兩點代入得，，
解得；．（6分）
故所求拋物線的解析式為：．（8分）

（3）設直線AB的方程為y=kx+b₁，那么有：，
解得．
故直線AB的方程為：．
∴．（9分）
拋物線的對稱軸l的方程是：，
，
解得．
∴F點坐標為．（10分）
∵l∥y軸，△PAB的面積等于△ABO的面積，
∴P點到直線AB的距離等于O點到AB的距離．
即OG=P₁H=P₂M（P點有兩種情況）．
則過原點O與AB平行的直線的解析式是y=x．
函數y=x與拋物線的交點坐標是即，
而P₁關于F點的對稱點．也是滿足條件的點．
點評：本題利用了全等三角形的性質，以及待定系數法求函數的解析式．