Question

如圖，拋物線的圖象與x軸交于A、B兩點，與y軸交于C點，已知B點坐標為（4，0）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）試探究△ABC的外接圓的圓心位置，并求出圓心坐標；
（3）若點M是線段BC下方的拋物線上一點，求△MBC的面積的最大值，并求出此時M點的坐標．

Answer 1

【答案】分析：（1）該函數解析式只有一個待定系數，只需將B點坐標代入解析式中即可．
（2）首先根據拋物線的解析式確定A點坐標，然后通過證明△ABC是直角三角形來推導出直徑AB和圓心的位置，由此確定圓心坐標．
（3）△MBC的面積可由S_△MBC=BC×h表示，若要它的面積最大，需要使h取最大值，即點M到直線BC的距離最大，若設一條平行于BC的直線，那么當該直線與拋物線有且只有一個交點時，該交點就是點M．
解答：解：（1）將B（4，0）代入拋物線的解析式中，得：
0=16a-×4-2，即：a=；
∴拋物線的解析式為：y=x²-x-2．

（2）由（1）的函數解析式可求得：A（-1，0）、C（0，-2）；
∴OA=1，OC=2，OB=4，
即：OC²=OA•OB，又：OC⊥AB，
∴△OAC∽△OCB，得：∠OCA=∠OBC；
∴∠ACB=∠OCA+∠OCB=∠OBC+∠OCB=90°，
∴△ABC為直角三角形，AB為△ABC外接圓的直徑；
所以該外接圓的圓心為AB的中點，且坐標為：（，0）．

（3）已求得：B（4，0）、C（0，-2），可得直線BC的解析式為：y=x-2；
設直線l∥BC，則該直線的解析式可表示為：y=x+b，當直線l與拋物線只有一個交點時，可列方程：
x+b=x²-x-2，即：x²-2x-2-b=0，且△=0；
∴4-4×（-2-b）=0，即b=-4；
∴直線l：y=x-4．
所以點M即直線l和拋物線的唯一交點，有：
，
解得：
即 M（2，-3）．
過M點作MN⊥x軸于N，
S_△BMC=S_梯形OCMN+S_△MNB-S_△OCB=×2×（2+3）+×2×3-×2×4=4．
點評：考查了二次函數綜合題，該題的難度不算太大，但用到的瑣碎知識點較多，綜合性很強．熟練掌握直角三角形的相關性質以及三角形的面積公式是理出思路的關鍵．