Question

如圖，已知△ABC中，AB=AC=10厘米，BC=8厘米，點D為AB的中點．如果點P在線段BC上由B出發向C點運動，同時點Q在線段CA上由C點出發向A點運動．設運動時間為t秒．
（1）若點P的速度3厘米/秒，用含t的式子表示第t秒時，BP=

3t

厘米，CP=

（8-3t）

厘米．
（2）如果點P的速度是3厘米/秒，t為何值時，△BPD和△CPQ恰好是以點B和C為對應點的全等三角形全等？
（3）如果點P比點Q的運動速度每秒快1厘米，t為何值時，△BPD和△CPQ恰好都是以∠B、∠C為頂角的等腰三角形．

Answer 1

分析：（1）根據路程=速度×時間就可以得出結論；
（2）分類討論，當△BPD≌△CPQ和△BPD≌△CQP時，由全等三角形的性質就可以求出結論；
（3）設P的速度為a厘米/秒，則Q的速度為（a-1）厘米/秒，就有at=5，PC=8-5=3=t（a-1）就可以求出t的值．

解答：解：（1）由題意，得
BP=3t，
∴PC=8-3t．
故答案為：3t，（8-3t）；
（2）當△BPD≌△CPQ時，
BP=CP．
∵BP+CP=BC=8，
∴BP=4，
∴t=

4

3

；
當△BPD≌△CQP時，
BD=CP．
∵點D為AB的中點，
∴BD=

1

2

AB．
∵AB=10，
∴BD=5，
∴CP=5，
∴BP=3，
∴t=1．
故t=1或t=

4

3

時，△BPD和△CPQ恰好是以點B和C為對應點的全等三角形全等；
（3）設P的速度為a厘米/秒，則Q的速度為（a-1）厘米/秒．
∵BP=BD，CP=CQ，
∴BP=5，
∴at=5，
∴PC=8-5=3，
∴t（a-1）=3
∴t=2．
答：點P比點Q的運動速度每秒快1厘米，t=2時，△BPD和△CPQ恰好都是以∠B、∠C為頂角的等腰三角形．

點評：本題考查了動點問題在實際生活中的運用，全等三角形的性質的運用，行程問題的數量關系的運用，解答時運用全等三角形的性質求解是關鍵．