Question

如圖1，A、B、C、D為矩形的四個頂點，AD=4cm，AB=dcm．動點E、F分別從點D、B出發，點E以1cm/s的速度沿邊DA向點A移動，點F以1cm/s的速度沿邊BC向點C移動，點F移動到點C時，兩點同時停止移動．以EF為邊作正方形EFGH，點F出發xs時，正方形EFGH的面積為ycm²．已知y與x的函數圖象是拋物線的一部分，如圖2所示．請根據圖中信息，解答下列問題：
（1）自變量x的取值范圍是______；
（2）d=______，m=______，n=______；
（3）F出發多少秒時，正方形EFGH的面積為16cm²？

Answer 1

【答案】分析：（1）根據矩形的對邊相等求出BC的長，然后利用路程、速度、時間的關系求解即可；
（2）根據點的運動可知，當點E、F分別運動到AD、BC的中點時，正方形的面積最小，求出d、m的值，再根據開始于結束時正方形的面積最大，利用勾股定理求出BD的平方，即為最大值n；
（3）過點E作EI⊥BC垂足為點I，則四邊形DEIC為矩形，然后表示出EI、IF，再利用勾股定理表示出EF²，根據正方形的面積得到y與x的函數關系式，然后把y=16代入求出x的值，即可得到時間．
解答：解：（1）∵BC=AD=4，4÷1=4，
∴0≤x≤4；
故答案為：0≤x≤4；

（2）根據題意，當點E、F分別運動到AD、BC的中點時，
EF=AB最小，所以正方形EFGH的面積最小，
此時，d²=9，m=4÷2=2，
所以，d=3，
根據勾股定理，n=BD²=AD²+AB²=4²+3²=25，
故答案為：3，2，25；

（3）如圖，過點E作EI⊥BC垂足為點I．則四邊形DEIC為矩形，
∴EI=DC=3，CI=DE=x，
∵BF=x，
∴IF=4-2x，
在Rt△EFI中，EF²=EI²+IF²=3²+（4-2x）²，
∵y是以EF為邊長的正方形EFGH的面積，
∴y=3²+（4-2x）²，
當y=16時，3²+（4-2x）²=16，
整理得，4x²-16x+9=0，
解得，x₁=，x₂=，
∵點F的速度是1cm/s，
∴F出發或秒時，正方形EFGH的面積為16cm²．
點評：本題考查了動點問題的函數圖象，（2）根據點的移動，結合二次函數圖象找出當EF=AB時正方形的面積為最小值是解題的關鍵，（3）求出正方形EFGH的面積的表達式是解題的關鍵．