Question

（1）如圖，菱形ABCD中，E、F分別是CB、CD上的點，若AE⊥BC，AF⊥CD．求證：AE=AF．
（2）某校數學興趣小組要測量教學樓的高度．如圖，他們在C處測得教學樓的最高點A的仰角為30°，再往教學樓的方向前進50m至D處，測得最高點A的仰角為60°．求教學樓高度AB的值（結果保留根號）．

Answer 1

【答案】分析：（1）由四邊形ABCD是菱形，可得BD=CD，又由AE⊥BC，AF⊥CD，利用菱形的面積S_菱形ABCD=BD•AE=CD•AF，即可證得AE=AF．
（2）首先設AB=xm，根據題意：∠ADB=60°，∠ACD=30°，CD=50m，然后分別在Rt△ABD與Rt△ABC中，利用正切函數，即可表示出BD與BC的值，繼而可得方程：x-x=50，解此方程即可求得答案．
解答：（1）證明：∵四邊形ABCD是菱形，
∴BD=CD，
∵AE⊥BC，AF⊥CD，
∴S_菱形ABCD=BD•AE=CD•AF，
∴AE=AF．

（2）解：設AB=xm，
根據題意：∠ADB=60°，∠ACD=30°，CD=50m，
在Rt△ABD中，BD==x（m），
在Rt△ABC中，BC==x（m），
∵CD=BC-BD，
∴x-x=50，
解得：x=25，
∴教學樓高度AB的值為：25m．
點評：此題考查了菱形的性質與方向角問題．此題難度適中，注意能借助于解直角三角形的知識求解是解此題的關鍵，注意數形結合思想與方程思想的應用．