Question

如圖1，已知雙曲線與直線y=交于A，B兩點，點A在第一象限，點A的橫坐標為4．

（1）求k的值；
（2）若雙曲線上一點C的縱坐標為8，求△AOC的面積；
（3）如圖2，過原點的另一條直線交雙曲線于P、Q兩點，若由點A、B、P、Q為頂點的四邊形面積為24，求點P的坐標．

Answer 1

解：（1）將x=4代入y=x=2，即A（4，2），
將A（4，2）代入反比例解析式得：y=8，
則反比例解析式為y=；

（2）過C作CD⊥x軸，作AE⊥x軸，
將y=8代入反比例解析式得：x=1，即C（1，8），
∴OD=1，CD=8，
∵A（4，2），∴OE=4，AE=2，
∵S_△AOC=S_△COD+S_梯形AEDC-S_△AOE=×1×8+×（2+8）×3-×4×2=15；

（3）設P（x，），即OM=x，PM=，
若P在A的左側，如圖所示，作PM⊥x軸，AN⊥x軸，
∵由點A、B、P、Q為頂點的四邊形面積為24，OP=OQ，OA=OB，即四邊形APBQ為平行四邊形，
∴S_△AOP=S_△POM+S_梯形ANMP-S_△AON=×24=6，即x•+×（4-x）×（2+）-4=6，
解得：x=2，即P（2，4）；
若交點P在第三象限，Q在第一象限，此時P（-2，-4）；
若P在A的右側，同理可得4+×（x-4）×（2+）-4=6，
解得：x=8，此時P坐標為（8，1）；
若交點P在第三象限，Q在第一象限，此時P坐標為（-8，-1），
綜上，P坐標為（2，4）或（-2，-4）或（8，1）或（-8，-1）．
分析：（1）將x=4代入一次函數解析式求出y的值，確定出A的坐標，將A坐標代入反比例解析式中求出k的值，即可確定出反比例解析式；
（2）將C縱坐標代入反比例解析式求出橫坐標，確定出C坐標，即CD與OD的長，三角形AAOC面積=三角形COD面積+梯形AEDC面積-三角形AOE面積，求出即可；
（3）設P（x，），即OM=x，PM=，分四種情況考慮：若P在A的左側，如圖所示，作PM⊥x軸，AN⊥x軸，由四邊形APBQ面積為24，且為平行四邊形，得到三角形AOP面積為6，根據三角形POM面積+梯形ANMP面積-三角形AON面積，列出關于x的方程，求出方程的解得到x的值，確定出此時P的坐標；若交點P在第三象限，Q在第一象限，利用對稱性求出P坐標即可；若P在A的右側，同理可得P的坐標；若交點P在第三象限，Q在第一象限，利用對稱性求出P的坐標．
點評：此題考查了反比例綜合題，涉及的知識有：坐標與圖形性質，三角形、梯形的面積，以及待定系數法，熟練掌握待定系數法是解本題的關鍵．