Question

如圖1，已知雙曲線與直線y₂=k'x交于A，B兩點，點A在第一象限．試解答下列問題：
（1）若點A的坐標為（4，2），則點B的坐標為______；當x滿足：______時，y₁＞y₂；
（2）過原點O作另一條直線l，交雙曲線于P，Q兩點，點P在第一象限，如圖2所示．
①四邊形APBQ一定是______；
②若點A的坐標為（3，1），點P的橫坐標為1，求四邊形APBQ的面積；
③設點A、P的橫坐標分別為m、n，四邊形APBQ可能是矩形嗎？若可能，求m，n應滿足的條件；若不可能，請說明理由．

Answer 1

解：（1）因為正比例函數與反比例都關于原點成中心對稱，所以B點的坐標為B（-4，-2）；
由兩個函數都經過點A（4，2），可知雙曲線的解析式為y₁=，直線的解析式為y₂=x，
雙曲線在每一象限y隨x的增大而減小，直線y隨x的增大而增大，
所以當x＜-4或0＜x＜4時，y₁＞y₂．

（2）①∵正比例函數與反比例函數都關于原點成中心對稱，
∴OA=OB，OP=OQ，根據對角線互相平分的四邊形是平行四邊形可知APBQ一定是平行四邊形．
②∵A點的坐標是（3，1）
∴雙曲線為y=，
所以P點坐標為（1，3），
過A作x軸的垂線CD交x軸于C，可得直角梯形OPDC，過P作PD⊥DC，垂足為D，
用直角梯形的面積減去直角三角形的面積可得三角形POA的面積為4，再用4×4得四邊形APBQ為16．

③∵當mn=k時，此時A（m，n），P（n，m），
∴OA=OP，對角線相等且互相平分的四邊形是矩形，
∴四邊形APBQ是矩形．
分析：數與形相結和，理解正比例函數與反比例函數的性質，并對函數的性質靈活運用，同時也訓練了平行四邊形和矩形的相關性質．點A與點B關于原點對稱，所以B點坐標為（-4，-2），在第三象限當x＜-4時y₁＞y₂，在第一象限當0＜x＜4時y₁＞y₂．由對角線互相平分的四邊形是平行四邊形可證明APBQ是平行四邊形．平行四邊形的對角線把它分成四個面積相等的三角形，所以只要求出△AOP的面積，再將其乘以4就可以得到APBQ的面積．根據對角線相等的平行四邊形是矩形可知，當mn=k時OP=OA，此時APBQ是矩形．
點評：此題考點清晰，難度不大，但數形結合能比較綜合的考查學生的分析能力．