Question

如圖，已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直角∠EPF的頂點P是BC中點，兩邊PE、PF分別交AB、AC于點E、F，給出以下四個結論：①AE=CF；②△EPF是等腰直角三角形；③S_{四邊形AEPF}=

1

2

S_△ABC；④BE+CF=EF．當∠EPF在△ABC內繞頂點P旋轉時（點E不與A、B重合）上述結論始終正確的結論個數為

3

．

Answer 1

分析：利用旋轉的思想觀察全等三角形，尋找條件證明三角形全等．根據全等三角形的性質對題中的結論逐一判斷．

解答：解：∵∠APE、∠CPF都是∠APF的余角，
∴∠APE=∠CPF，
∵AB=AC，∠BAC=90°，P是BC中點，
∴AP=CP，
又∵AP=CP，∠EPA=∠FPC，
∴△APE≌△CPF（ASA），
同理可證△APF≌△BPE，
∴AE=CF，故①小題正確；

PE=PF，∠EPF是直角，
∴△EPF是等腰直角三角形，故②小題正確；

S_{四邊形AEPF}=

1

2

S_△ABC，故③小題正確；

∵AE=CF（已證），
∴BE=AF，
∴BE+CF=AE+AF，
在△AEF中，AE+EF＞EF，
∴④小題錯誤．
綜上所述，正確的選項有①②③共3個．
故答案為：3．

點評：此題主要考查了等腰三角形和直角三角形的性質，綜合利用了全等三角形的判定．