Question

【題目】如圖，直線l經過⊙O的圓心O，且與⊙O交于A、B兩點，點C在⊙O上，且∠AOC=30°，點P是直線l上的一個動點（與圓心O不重合），直線CP與⊙O相交于點Q．是否存在點P，使得QP=QO；若存在，求出相應的∠OCP的大��；若不存在，請簡要說明理由．

Answer 1

【答案】40°、20°、100°．

【解析】

點P是直線l上的一個動點，因而點P與線段AO有三種位置關系，在線段AO上，點P在OB上，點P在OA的延長線上．分這三種情況進行討論即可．

①根據題意，畫出圖(1)，

在△QOC中，OC=OQ，

∴∠OQC=∠OCP，

在△OPQ中，QP=QO，

∴∠QOP=∠QPO，

又∵∠AOC=30°，

∴∠QPO=∠OCP+∠AOC=∠OCP+30°，

在△OPQ中，∠QOP+∠QPO+∠OQC=180°，

即（∠OCP+30°）+（∠OCP+30°）+∠OCP=180°，

整理得，3∠OCP=120°，

∴∠OCP=40°．

②當P在線段OA的延長線上（如圖2）

∵OC=OQ，

∴∠OQP=（180°﹣∠QOC）×①，

∵OQ=PQ，

∴∠OPQ=（180°﹣∠OQP）×②，

在△OQP中，30°+∠QOC+∠OQP+∠OPQ=180°③，

把①②代入③得∠QOC=20°，則∠OQP=80°

∴∠OCP=100°；

③當P在線段OA的反向延長線上（如圖3），

∵OC=OQ，

∴∠OCP=∠OQC=（180°﹣∠COQ）×①，

∵OQ=PQ，

∴∠P=（180°﹣∠OQP）×②，

∵∠AOC=30°，

∴∠COQ+∠POQ=150°③，

∵∠P=∠POQ，2∠P=∠OCP=∠OQC④，

①②③④聯立得

∠P=10°，

∴∠OCP=180°﹣150°﹣10°=20°．

故答案為：40°、20°、100°．