Question

如圖，過半徑為6cm的⊙O外一點P引圓的切線PA、PB，A、B為切點，連PO交⊙O于點M，過M作⊙O的切線分別交PA、PB于D、E，如果PO=10cm，∠APB=50°，
（1）求△PED的周長；
（2）求∠DOE的度數．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據切線長定理，得DA=DM，EB=EM，PA=PB，則△PED的周長即為2PA的長；連接OA，根據切線的性質定理，得OA⊥AP，根據勾股定理求得AP的長，從而求解；
（2）根據切線長定理、等角的余角相等可以求得∠DOE=∠AOB，根據切線的性質和四邊形的內角和定理可以求得∠AOB的度數，從而求解．
解答：解：（1）連接OA．
∵PA是圓的切線，
∴OA⊥AP，
根據勾股定理，得AP=8．
∵PA、PB、DE都是圓的切線，
∴PA=PB，AD=MD，BE=ME，
∴△PED的周長=2PA=16；

（2）連接OA、OB．
∵PA、PB、DE都是圓的切線，
∴OD平分∠ADE，OE平分∠BED，OA⊥AP，OB⊥BP，OM⊥DE，
∴OD平分∠AOM，OE平分∠BOM，
∴∠DOE=∠AOB=×（180°-50°）=65°．
點評：此題綜合運用了切線的性質、切線長定理、等角的余角相等的性質．
注意：連接過切點的半徑是圓中常見的輔助線之一．