Question

如圖，過(guò)半徑為6cm的⊙O外一點(diǎn)P引圓的切線PA、PB，A、B為切點(diǎn)，連PO交⊙O于點(diǎn)M，過(guò)M作⊙O的切線分別交PA、PB于D、E，如果PO=10cm，∠APB=50°，
（1）求△PED的周長(zhǎng)；
（2）求∠DOE的度數(shù)．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)切線長(zhǎng)定理，得DA=DM，EB=EM，PA=PB，則△PED的周長(zhǎng)即為2PA的長(zhǎng)；連接OA，根據(jù)切線的性質(zhì)定理，得OA⊥AP，根據(jù)勾股定理求得AP的長(zhǎng)，從而求解；
（2）根據(jù)切線長(zhǎng)定理、等角的余角相等可以求得∠DOE=∠AOB，根據(jù)切線的性質(zhì)和四邊形的內(nèi)角和定理可以求得∠AOB的度數(shù)，從而求解．
解答：解：（1）連接OA．
∵PA是圓的切線，
∴OA⊥AP，
根據(jù)勾股定理，得AP=8．
∵PA、PB、DE都是圓的切線，
∴PA=PB，AD=MD，BE=ME，
∴△PED的周長(zhǎng)=2PA=16；

（2）連接OA、OB．
∵PA、PB、DE都是圓的切線，
∴OD平分∠ADE，OE平分∠BED，OA⊥AP，OB⊥BP，OM⊥DE，
∴OD平分∠AOM，OE平分∠BOM，
∴∠DOE=∠AOB=×（180°-50°）=65°．
點(diǎn)評(píng)：此題綜合運(yùn)用了切線的性質(zhì)、切線長(zhǎng)定理、等角的余角相等的性質(zhì)．
注意：連接過(guò)切點(diǎn)的半徑是圓中常見的輔助線之一．