Question

如圖，有一正方形的紙片ABCD，邊長為3，點E是DC邊上一點且DE=DC，把△ADE沿AE折疊使△ADE落在△AFE的位置，延長EF交BC邊于點G，連接AG．有以下四個結論　①∠GAE=45°　 ②BG+DE=GE　③點G是BC的中點　④S_△ECG=
（1）其中正確的結論序號是______．
（2）請選一個你認為正確的結論進行說理論證．

Answer 1

解：（1）①由折疊易得∠DAE=∠FAE，AD=AF，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD=AB=AF，
又有AG=AG，
∴Rt△ABG≌Rt△AFG（HL），
∴∠BAG=∠FAG，
∵∠BAD=90°，
∴∠GAE=45°；
②∵Rt△ABG≌Rt△AFG，
∴GB=GF，
∵DE=EF，
∴BG+DE=GF+EF=GE；
③∵DE=DC，CD=3，
∴EC=2，DE=1，
∴EF=1，
設CG=x，則BG=GF=3-x，GE=3-x+1=2-x，
∵EC²+GC²=EG²，
∴2²+x²=（2-x）²，
解得：x=1.5，
∴G是BC的中點；
④S_△ECG=×CG×EC=××2=，
故其中正確的序號是①②③④；
（2）如（1）中的推理過程．
分析：根據正方形的性質可證Rt△ABG≌Rt△AFG，可得∠BAG=∠FAG，由折疊易得∠DAE=∠FAE，再證∠BAG=∠FAG可得∠GAE=45°；由折疊可知DE=EF，由全等可知GB=GF，進而得到BG+DE=GE；在直角△ECG中，根據勾股定理可證BG=GC；由于S_△EGC=×EC×GC，EC、GC的長可通過在直角△ECG中用勾股定理算出，求得面積比較即可．
點評：此題主要考查了全等三角形的性質和判定，勾股定理，圖形的折疊及一元二次方程，關鍵是掌握折疊后，哪些邊是相等的，哪些角是相等的，證出Rt△ABG≌Rt△AFG．