Question

【題目】已知AB是⊙O的直徑，AP是⊙O的切線，A是切點，BP與⊙O交于點C．

（1）如圖①，若∠P=35°，求∠ABP的度數；

（2）如圖②，若直線CD是⊙O的切線，求證：D為AP的中點．

Answer 1

【答案】（1）55°（2）見解析

【解析】

（1）易證PA⊥AB，再通過解直角三角形求解；
（2）連接OC、AC，證出OC⊥CD，AB⊥AP，根據半徑所對應的角相等即可證明CD= AD；根據AB是O的直徑，得出∠BCA=90°，再根據兩個角相加為90°，即可證明CD= DP，從而得出結論

（1）∵AB是⊙O的直徑，AP是⊙O的切線

∴PA⊥AB

∴∠BAP=90°

∵∠P=35°

∴∠ABP=∠BAP-∠P=90°-35°=55°

故答案為：55°

(2)如圖，連接OC、AC

∵CD是⊙O的切線

∴OC⊥CD

∴∠1+∠3=90°

∵AP是⊙O的切線

∴AB⊥AP

∴∠2+∠4=90°

∵OA= OC

∴∠1=∠2

∴∠3=∠4

∴ CD= AD

∵AB是O的直徑，

∴∠BCA=90°

∴∠DCP+∠3=90°

∠CPA+∠4=90°

∴∠DCP=∠CPA

∴CD= DP

∴CD= DP=AD

∴D為AP的中點