Question

【題目】如圖，已知△ABC為直角三角形，∠C=90°，邊BC是⊙0的切線，切點為D，AB經過圓心O并與圓相交于點E，連接AD．

（1）求證：AD平分∠BAC；
（2）若AC=8，tan∠DAC= ，求⊙O的半徑．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接OD，

∵BC是⊙O的切線，

∴OD⊥BC，
∠ODB=∠C=90°

∴OD∥AC，

∴∠ODA=∠CAD，

∵OA=OD，

∴∠ODA=∠OAD，

∴∠OAD=∠CAD，即AD平分∠BAC

（2）解：連接DE，

∵AE是⊙O的直徑，

∴∠ADE=90°，

∵∠OAD=∠CAD，tan∠DAC= ，

∴tan∠EAD= ，

∵tan∠DAC= ，AC=8，

∴CD=6，

由勾股定理得，AD= =10，

∴ = ，

解得，DE= ，

∴AE= = ，

∴⊙O的半徑為 ．

【解析】（1）已知圓的切線，常添加的輔助線是“連半徑，得垂直”。已知BC是⊙0的切線，所以連半徑OD,得到OD⊥BC，再由平行線的性質和等腰三角形的性質就可證得結論；（2）要求此圓的半徑，轉化為求直徑AE的長，已知圓的直徑，常添加的輔助線是“連接一條弦，得直徑所對的圓周角是直角”，方法一：連接DE,得到Rt△ADE，再根據正切的定義和勾股定理可得到圓的半徑，方法二求出AD的長后，也可以證明△ACD△ADE求得AE的長，即可得到此圓的半徑長。
【考點精析】認真審題，首先需要了解平行線的判定與性質(由角的相等或互補（數量關系）的條件，得到兩條直線平行（位置關系）這是平行線的判定；由平行線（位置關系）得到有關角相等或互補（數量關系）的結論是平行線的性質)，還要掌握等腰三角形的性質(等腰三角形的兩個底角相等（簡稱：等邊對等角）)的相關知識才是答題的關鍵．