Question

4．如圖，△ABC是以BC為底邊的等腰三角形，點A、C分別是一次函數$y=-\frac{3}{4}x+3$的圖象與y軸、x軸的交點，點B在二次函數$y=\frac{1}{8}{x^2}+bx+c$的圖象上，且該二次函數圖象上存在一點D使四邊形ABCD能構成平行四邊形．
（1）試求b、c的值，并寫出該二次函數的解析式；
（2）動點P從A到D，同時動點Q從C到A都以每秒1個單位的速度運動，問：
①當P運動到何處時，△APQ是直角三角形？
②當P運動到何處時，四邊形PDCQ的面積最小？此時四邊形PDCQ的面積是多少？

Answer 1

分析 （1）首先得出B，D點坐標，再利用待定系數法求出二次函數解析式即可；
（2）①分別利用當PQ⊥AC時，當QP⊥AD時，結合勾股定理求出t的值即可；
②過點Q作QH⊥AD，垂足為H．由于S_△APQ=$\frac{1}{2}$AP•QH=$\frac{1}{2}$AP•AQsin∠PAQ，S_△ACD=$\frac{1}{2}$AD•OA，所以S_{四邊形PDCQ}=S_△ACD-S_△APQ求出最值即可．

解答 解：（1）由$y=-\frac{3}{4}x+3$，得A（0，3），C（4，0）．
由于B、C關于OA對稱，所以B（-4，0），BC=8．
因為AD∥BC，AD=BC，所以D（8，3）．
將B（-4，0）、D（8，3）分別代入$y=\frac{1}{8}{x^2}+bx+c$，
得$\left\{\begin{array}{l}2-4b+c=0\\ 8+8b+c=3.\end{array}\right.$
解得 $b=-\frac{1}{4}$，c=-3．
所以該二次函數的解析式為$y=\frac{1}{8}{x^2}-\frac{1}{4}x-3$．

（2）①設點P、Q運動的時間為t．
在△APQ中，AP=t，AQ=AC-CQ=5-t，cos∠PAQ=cos∠ACO=$\frac{4}{5}$．
當PQ⊥AC時，$\frac{AQ}{AP}=\frac{4}{5}$．
所以$\frac{5-t}{t}$=$\frac{4}{5}$．
解得t=$\frac{25}{9}$，即AP=$\frac{25}{9}$．（如圖1所示）
當QP⊥AD時．這時$\frac{AP}{AQ}=\frac{4}{5}$，
所以$\frac{t}{5-t}=\frac{4}{5}$．
解得$t=\frac{20}{9}$（如圖2所示）．

②如圖3，過點Q作QH⊥AD，垂足為H．
由于S_△APQ=$\frac{1}{2}AP•QH=\frac{1}{2}AP•AQsin∠PAQ=\frac{1}{2}t（5-t）×\frac{3}{5}=-\frac{3}{10}{t^2}+\frac{3}{2}t$

S_△ACD=$\frac{1}{2}AD•OA=\frac{1}{2}×8×3=12$，
所以S_{四邊形PDCQ}=S_△ACD-S_△APQ=$12-（-\frac{3}{10}{t^2}+\frac{3}{2}t）=\frac{3}{10}{（t-\frac{5}{2}）^2}+\frac{81}{8}$．
所以當AP=$\frac{5}{2}$時，四邊形PDCQ面積的最小值是$\frac{81}{8}$．

點評 此題主要考查了二次函數綜合以及直角三角形的性質以及二次函數最值求法等知識，利用數形結合以及分類討論得出是解題關鍵．