Question

如圖，在Rt△ABC中，∠A=90°，O是BC邊上一點，以O為圓心的半圓與AB邊相切于點D，與AC、BC邊分別交于點E、F、G，連接OD，已知BD=2，AE=3，tan∠BOD=．
（1）求⊙O的半徑OD；
（2）求證：AE是⊙O的切線；
（3）求圖中兩部分陰影面積的和．

Answer 1

【答案】分析：（1）由AB為圓O的切線，利用切線的性質得到OD垂直于AB，在直角三角形BDO中，利用銳角三角函數定義，根據tan∠BOD及BD的值，求出OD的值即可；
（2）連接OE，由AE=OD=3，且OD與AE平行，利用一組對邊平行且相等的四邊形為平行四邊形，根據平行四邊形的對邊平行得到OE與AD平行，再由DA與AE垂直得到OE與AC垂直，即可得證；
（3）陰影部分的面積由三角形BOD的面積+三角形ECO的面積-扇形DOF的面積-扇形EOG的面積，求出即可．
解答：解：（1）∵AB與圓O相切，
∴OD⊥AB，
在Rt△BDO中，BD=2，tan∠BOD==，
∴OD=3；

（2）連接OE，
∵AE=OD=3，AE∥OD，
∴四邊形AEOD為平行四邊形，
∴AD∥EO，
∵DA⊥AE，
∴OE⊥AC，
又∵OE為圓的半徑，
∴AC為圓O的切線；

（3）∵OD∥AC，
∴=，即=，
∴AC=7.5，
∴EC=AC-AE=7.5-3=4.5，
∴S_陰影=S_△BDO+S_△OEC-S_扇形FOD-S_扇形EOG
=×2×3+×3×4.5-
=3+-
=．
點評：此題考查了切線的判定與性質，扇形的面積，銳角三角函數定義，平行四邊形的判定與性質，以及平行線的性質，熟練掌握切線的判定與性質是解本題的關鍵．