Question

如圖，梯形ABCD中，∠DAB=90°，AB=7，CD=4，AD=4，動點P從點A以每秒1個單位的速度向點B運動，動點Q以每秒2個單位的速度由點B經點C向點D運動，當有一個點到達目標時，即停止運動．設運動時間為x秒，△BPQ的面積為y．
（1）求y與x的函數關系式，并指出x的取值范圍；
（1）當x為何值時，y的值最大；
（2）是否存在點P，使得△BPQ為直角三角形？若存在，求出x的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）過C作CF⊥AB于F，推出四邊形ADCF是矩形，得出DC=AF=4，AD=CF=4，求出BF=3，由勾股定理得求出BC=5，求出sinB=，cosB=，①當P在AB上，Q在BC上時，此時0＜x≤，過Q作QE⊥AB于E，得出AP=x，BQ=2x，BP=7-x，根據sinB即可求出QE=x，代入三角形的面積公式求出即可；②當P在AB上，Q在DC上時，此時＜x≤，代入三角形的面積公式求出即可；
（2）求出每個函數式的最值即可；
（3）分為兩種情況：①當P在AB上，Q在BC上時，此時只能是Q為直角頂點，根據cosB==，代入即可求出x；②當P在AB上，Q在CD上時，此時≤x≤，此時只能P為直角頂點，在Rt△BFC中，根據勾股定理得出5²=4²+（12-3x）²，求出x=3的值即可．
解答：（1）解：過C作CF⊥AB于F，
∵梯形ABCD中，∠DAB=90°，
∴∠D=∠A=∠CFA=90°，
∴四邊形ADCF是矩形，
∴DC=AF=4，AD=CF=4，
∴BF=7-4=3，
在Rt△CFB中，由勾股定理得：BC=5，
即sinB==，cosB==，
①當P在AB上，Q在BC上時，此時0＜x≤，
過Q作QE⊥AB于E，
∵AP=x，BQ=2x，BP=7-x，
∴sinB==，
∴QE=x，
由三角形的面積公式得：y=×BP×QE=×（7-x）×=-x²+x；
②當P在AB上，Q在DC上時，此時＜x≤（4+5=9），
則y=BP×CF=×（7-x）×4=-2x+14；
綜合上述：y與x的關系式是：y=．

（2）解：∵y=-x²+x=-+，
又∵0＜x≤，
∴拋物線的開口向下，對稱軸是直線x=，
∴當x=時，y的值最大；
∵y═-2x+14（≤x≤），
根據k=-2＜0知：y隨x的增大而減小，即要使y最大，必須x最小，即x取時y最大；
綜合上述：當x=時，y的值最大．

（3）解：
分為兩種情況：①當P在AB上，Q在BC上時，此時0＜x≤，P在AF內，即只能是Q為直角頂點，
cosB==，
即=，
x=；
②當P在AB上，Q在CD上時，此時≤x≤，
此時只能P為直角頂點，CQ=2x-5=PF，BP=7-x，
則BF=（7-x）-（2x-5）=12-3x，
在Rt△BFC中，由勾股定理得：5²=4²+（12-3x）²，
解得：x=3，x=5（5＞舍去），
綜合上述：存在點P，使得△BPQ為直角三角形，x的值是或3．
點評：本題綜合考查了梯形的性質，矩形的性質和判定，勾股定理，二次函數的最值，三角形的面積等知識點的應用，主要考查學生運用性質進行推理的能力，題目具有一定的代表性，但是難度偏大，注意：一定要進行分類討論．