Question

四邊形一條對角線所在直線上的點，如果到這條對角線的兩端點的距離不相等，但到另一對角線的兩個端點的距離相等，則稱這點為這個四邊形的準等距點。
如圖1，點P為四邊形ABCD對角線AC所在直線上的一點，PD=PB，PA≠PC，則點P為四邊形ABCD的準等距點。

（1）如圖2，畫出菱形ABCD的一個準等距點；
（2）如圖3，作出四邊形ABCD的一個準等距點（尺規作圖，保留作圖痕跡，不要求寫作法）；
（3）如圖4，在四邊形ABCD中，P是AC上的點，PA≠PC，延長BP交CD于點E，延長DP交BC于點F，且∠CDF=∠CBE，CE=CF，求證：點P是四邊形ABCD的準等距點。
（4）試研究四邊形的準等距點個數的情況（說出相應四邊形的特征及準等距點的個數，不必證明）。

Answer 1

解：（1）如圖2，點P即為所畫點

（2）（答案不唯一）如圖3，點P即為所作點

（3）連結DB，
在△DCF與△BCE中，
∠DCF=∠BCE，
∠CDF=∠CBE，
CF=CE，
∴△DCF≌△BCE（AAS），
∴CD=CB，
∴∠CDB=∠CBD，
∴∠PDB=∠PBD，
∴PD=PB，
∵PA≠PC，
∴點P是四邊形ABCD的準等距點。

（4）①當四邊形的對角線互相垂直且任何一條對角線不平分另一對角線或者對角線互相平分且不垂直時，準等距點的個數為0個；
②當四邊形的對角線不互相垂直，又不互相平分，且有一條對角線的中垂線經過另一對角線的中點時，準等距點的個數為1個；
③當四邊形的對角線既不互相垂直又不互相平分，且任何一條對角線的中垂線都不經過另一條對角線的中點時，準等距點的個數為2個；
④四邊形的對角線互相垂直且至少有一條對角線平分另一對角線時，準等距點有無數個。（答案不唯一）