Question

如果四邊形一條對角線所在直線上有一點(diǎn)，它到這條對角線的兩端點(diǎn)的距離不相等，但到另一對角線的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等，則稱這個(gè)點(diǎn)為這個(gè)四邊形的準(zhǔn)等距點(diǎn)．
（1）正方形ABCD的對角線AC上有沒有準(zhǔn)等距點(diǎn)？請簡單說明理由；
（2）請回答長方形（正方形除外）、菱形、等腰梯形的準(zhǔn)等距點(diǎn)的個(gè)數(shù)（不必證明）；
（3）如圖所示，在四邊形ABCD中，P是AC上的點(diǎn)，PA≠PC，延長BP交CD于點(diǎn)E，延長DP交BC于點(diǎn)F，且∠CDF=∠CBE，CE=CF，證明點(diǎn)P是四邊形ABCD的準(zhǔn)等距點(diǎn)．

Answer 1

分析：（1）如圖1，在對角線AC上任取一點(diǎn)P，連接PB，PD，根據(jù)正方形的性質(zhì)就可以得出PD=PB，就可以得出結(jié)論；
（2）由矩形的對角線互相平分但不垂直，就可以得出矩形的準(zhǔn)等距點(diǎn)的個(gè)數(shù)為0，菱形的對角線互相垂直平分，可以得出菱形的準(zhǔn)等距點(diǎn)的個(gè)數(shù)是無數(shù)個(gè)，等腰梯形不垂直又不互相平分，且任何一條對角線的中垂線都不經(jīng)過另一條對角線的中點(diǎn)，可以得出等腰梯形的準(zhǔn)等距點(diǎn)的個(gè)數(shù)為2個(gè)；
（3）根據(jù)條件可以得出△CDF≌△CBE就可以得出BC=DC，進(jìn)而可以得出BF=DE，再證明△EDP≌△FBP就可以得出PD=PB就可以得出結(jié)論．

解答：解：（1）如圖1，在對角線AC上任取一點(diǎn)P，連接PB，PD．
∵四邊形ABCD是正方形，
∴BD⊥AC，AC平分BD，
∴PD=PB．
∴點(diǎn)P是對角線AC上的準(zhǔn)等距點(diǎn)；

（2）根據(jù)確定準(zhǔn)等距點(diǎn)的方法：可以作出其中一條對角線的垂直平分線和另一條對角線所在的直線的交點(diǎn)．主要是根據(jù)兩條對角線的位置關(guān)系決定．
∵矩形的對角線互相平分但不垂直，
∴矩形的準(zhǔn)等距點(diǎn)的個(gè)數(shù)為0，
∵菱形的對角線互相垂直平分，
∴菱形的準(zhǔn)等距點(diǎn)的個(gè)數(shù)是無數(shù)個(gè)，
∵等腰梯形不垂直又不互相平分，且任何一條對角線的中垂線都不經(jīng)過另一條對角線的中點(diǎn)，
∴等腰梯形的準(zhǔn)等距點(diǎn)的個(gè)數(shù)為2個(gè)；

（3）在△CDF和△CBE中，

∠BCD=∠BCD ∠CDF=∠CBE CF=CE

，
∴△CDF≌△CBE（AAS），
∴CD=CB．
∵CE=CF，
∴ED=BF．
在△EDP和△FBP中，

∠CDF=∠CBE ∠DPE=∠BPF ED=FB

，
∴△EDP≌△FBP（AAS），
∴PD=PB．
∴點(diǎn)P是四邊形ABCD的準(zhǔn)等距點(diǎn)．

點(diǎn)評：本考查了菱形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)等知識(shí)．此題屬于閱讀性題目，解題的關(guān)鍵是熟悉垂直平分線的性質(zhì)，能夠根據(jù)找準(zhǔn)等距點(diǎn)的方和四邊形中兩條對角線的位置關(guān)系判斷準(zhǔn)等距點(diǎn)的個(gè)數(shù)及證明一個(gè)點(diǎn)是四邊形的準(zhǔn)等距點(diǎn)．