Question

（1）解方程：3x²-

2

x-2=0，并計算兩根之和．
（2）求證：無論a為任何實數(shù)，關于x的方程（2a-1）x²-2ax+1=0總有實數(shù)根．

Answer 1

分析：（1）解方程可以利用公式法即可求出結果，然后根據(jù)結果可以求出兩根之和，也可以利用根與系數(shù)的關系求出；
（2）①當2a-1=0，即a=

1

2

時，原方程化為-x+1=0，方程有實根x=1；
②當2a-1≠0，即a≠

1

2

時，要證明關于x的方程（2a-1）x²-2ax+1=0總有實數(shù)根就是證明其判別式永遠是非負數(shù)，所以求出判別式即可．

解答：（1）解：a=3，b=-

2

，c=-2
∴△=（-

2

）²-4×3×（-2）=2+24=26＞0
∴x=

2 ± 26

2×3

，
∴x₁=

2 + 26

6

，x₂=

2 - 26

6

．
∴x₁+x₂=

2

3

；

（2）證明：當2a-1=0，即a=

1

2

時，原方程化為-x+1=0，方程有實根x=1；
當2a-1≠0，即a≠

1

2

時，△=4a²-4（2a-1）×1=4（a²-2a+1）=4（a-1）²≥0．
∴方程必有兩個實根．
綜上所述，無論a為何實數(shù)，方程總有實數(shù)根．

點評：（1）題考查了一元二次方程的解法，并且利用方程的根求出了兩根之和；
（2）題考查了一元二次方程根的情況與判別式△的關系：
①△＞0?方程有兩個不相等的實數(shù)根；
②△=0?方程有兩個相等的實數(shù)根；
③△＜0?方程沒有實數(shù)根．