Question

【題目】已知：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，過點C作CD⊥AB于點D，點E是BC上一點，連接AE交CD于點F.

(1)如圖1，若AE平分∠CAB，CP平分∠BCD，求證：FP=EP；

(2)如圖2，若CE=CA，過點E作EG⊥CD于點G，點H為AE的中點，連接DH，GH，判斷△GDH的形狀，并證明.

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2)△GDH是等腰直角三角形，理由見解析.

【解析】

(1)由CD⊥AB，∠ACB=90°可得∠ACD=∠B，繼而根據角平分線的定義以及三角形外角的性質可得∠CFE=∠CEF，得到CF=CE，再根據等腰三角形的性質即可得證；

(2)如圖2，延長DH交EG于點M，證明△ACD≌△CEG，從而可得AD=CG，CD=GE，再證明△ADH≌△EMH，從而可得EM=AD，DH=MH，繼而根據CD=CG+DG，EG=EM+MG，可得DG=MG，判斷出△DGM是等腰直角三角形，再根據DH=MH，可得HG⊥DH，GH=DH，從而可得△GDH是等腰直角三角形.

(1)∵CD⊥AB，∠ACB=90°，

∴∠ACD+∠CAD=90°，∠B+∠CAB=90°，

∴∠ACD=∠B，

∵AE平分∠CAB，

∴∠CAE=∠BAE，

∵∠CFE=∠ACD+∠CAE，∠CEF=∠B+∠BAE，

∴∠CFE=∠CEF，

∴CF=CE，

又∵CP平分∠BCD，

∴FP=EP；

(2)△GDH是等腰直角三角形，理由如下：

如圖2，延長DH交EG于點M，

∵EG⊥CD，

∴∠CGE=∠EGD=90°，

∴∠CEG+∠ECG=90°，

∵∠ACD+∠ECG=∠ACB=90°，

∴∠ACD=∠CEG，

又∵∠ADC=90°=∠CGE，AC=CE，

∴△ACD≌△CEG，

∴AD=CG，CD=GE，

∵∠ACD=∠B，

∴∠CEG=∠B，

∴EG//AD，

∴∠HAD=∠HEG，∠ADH=∠EMH，

又∵AH=EH，

∴△ADH≌△EMH，

∴EM=AD，DH=MH，

∵CD=CG+DG，EG=EM+MG，

∴DG=MG，

∴△DGM是等腰直角三角形，

又∵DH=MH，

∴HG⊥DH，GH=DH，

∴△GDH是等腰直角三角形.