Question

【題目】如圖，四邊形ABCD中，AD=BC，AB=CD，E，F分別是AB，CD上的點，且∠DAF=∠BCE，

（1）求證：AE=CF；

（2）若將此題中的條件改為：“E，F分別是AB，CD延長線上的點”，其余條件不變，此時，∠ABC=60°，∠BEC=40°，作∠ABC的平分線BN交AF于M，交AD于N，求∠AMN的度數（要求：畫示意圖，不寫畫法，寫推理過程）

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）10°

【解析】分析：（1）易得四邊形ABCD是平行四邊形，那么∠D=∠B，易得△ADF≌△CBE，那么BE=DF，∴AE=CF；

（2）利用外角等于和它不相鄰的2個內角的和可得∠BCE的度數，也就求得了∠DAF的度數，利用角平分線定義易得∠NBC的度數，也就求得了∠MND的度數，利用三角形的外角的性質即可求得∠AMN的度數．

詳解：（1）∵AD=BC，AB=CD，

∴四邊形ABCD是平行四邊形，

∴∠D=∠B，

∵∠DAF=∠BCE，

∴△ADF≌△CBE，

∴BE=DF，

∴AE=CF；

（2）∵∠ABM=∠CBM=∠ABC=30°，

又∵AD∥BC

∴∠MND=∠CBM=30°

∵∠ABC=∠E+∠BCE，

∴∠BCE=∠ABC﹣∠E=60°﹣40°=20°

∴∠FAD=∠BCE=20°

又∵∠MND=∠FAD+∠AMN

∴∠AMN=∠MND﹣∠FAD=30°﹣20°=10°．