Question

如左圖，AB是半圓直徑，半徑OC⊥AB于點O，AD平分∠CAB分別交OC于點E，交弧BC于點D，連結CD、OD，給出以下四個結論：①S_△AEC=2S_△DEO；②AC=2CD；③線段OD是DE與DA的比例中項；④2CD²＝CE·AB．其中正確結論的序號(    )

A. ①④             B. ①②④          C. ①③④           D. ③④

Answer 1

A.

試題分析：根據圓的有關性質以及相似三角形的判斷和性質進行解答.
①∵AD平分∠CAB，∴∠CAD＝∠DAB，∵OA＝OD，∴∠DAO＝∠ADO，∴∠CAD＝ADO，又∵∠AEC＝∠DEO，∴△AEC∽△DEO，∴.∵0C⊥AO，∴∠AOC＝90°，∵OC＝OA，∴∠ACO＝∠CAO＝45°，∴AC＝AO，∵OD＝OA，∴AC＝OD，∴＝2，∴S_△AEC=2S_△DEO；
②連接BD，BC，∵OC⊥AB，∴∠AOC＝∠BOC＝90°，∴AC＝BC.∵AD平分∠CAB，∴∠CAD＝∠DAB，∵CD＝BD，在△BCD中，CD＋BD＞BC，∴2CD＞BC，又∵BC＝AC，∴2CD＞AC；
③∵OA＝OD，∴△AOD是等腰三角形，且∠AOD＝135°，但△ODE不是等腰三角形，∴△AOD與△ODE不相似，因此無法證明OD²＝DE×AD，即無法證明線段OD是DE與DA的比例中項；
④∵0C⊥AO，∴∠AOC＝90°，∵OC＝OA，∴∠ACO＝∠CAO＝45°，∴∠CDA＝∠AOC＝45°，∵CD＝BD，∴∠COD＝∠BOD＝∠BOC＝45°，∴∠CDE＝∠COD，又∵∠ECD＝∠DCO，∴△CDE∽△COD，∴，∴CD²＝CO·CE，又∵CO＝AB，∴CD²＝AB·CE，∴2CD²＝AB·CE.
故選擇A.