Question

【題目】在正方形ABCD外側作直線AP，點B關于直線AP的對稱點為E，連接BE，DE，其中DE交直線AP于點F．

（1）①依題意補全圖1；

②若∠PAB=20°，求∠ADF的度數；

（2）若設∠PAB=a，且0°＜a＜90°，求∠ADF的度數（直接寫出結果，結果可用含a的代數式表示）

（3）如圖2，若45°＜∠PAB＜90°，用等式表示線段AB、FE、FD之間的數量關系，并證明．

Answer 1

【答案】（1）①詳見解析；②25°；（2）45°﹣α；（3）詳見解析

【解析】

（1）①根據題意直接畫出圖形得出即可；

②利用對稱的性質以及等角對等邊的性質，進而得出答案；

（2）利用對稱的性質以及等角對等邊進而得出答案；

（3）由軸對稱的性質可得：，進而利用勾股定理得出答案．

（1）①如圖1所示：

②如圖2，

連接AE，由對稱得，

∠PAB=∠PAE=20°，AE=AB=AD，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠BAD=90°，

∴∠EAP=∠BAP=20°，

∴∠EAD=130°，

∴∠ADF==25°；

（2）如圖2，

連接AE，由對稱得

∠PAB=∠PAE=α，AE=AB=AD，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠BAD=90°，

∴∠EAP=∠BAP=α，

∴∠EAD=90°+2α，

∴∠ADF==45°﹣α．

（3）如圖3，

連接AE、BF、BD，

由對稱可知，EF=BF，AE=AB=AD，

∠ABF=∠AEF=∠ADF，

∴∠BFD=∠BAD=90°，

在Rt△BDF中，BF2+FD2=BD2，

在Rt△ABC中，BD=AB，

∴EF2+FD2=2AB2．