Question

已知，如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，DA=DC，以點D為圓心，DA長為半徑的⊙D與AB相切于A，與BC交于點F，過點D作DE⊥BC，垂足為E。
（1）求證：四邊形ABED為矩形；
（2）若AB=4，，求CF的長。

Answer 1

解：（1）∵⊙D與AB相切于點A，
∴AB⊥AD，
∵AD∥BC，DE⊥BC，
∴DE⊥AD，
∴∠DAB=∠ADE=∠DEB=90°，
∴四邊形ABED為矩形；
（2）∵四邊形ABED為矩形，
∴DE=AB=4，
∵DC=DA，
∴點C在⊙D上，
∵D為圓心，DE⊥BC，
∴CF=2EC，
∵，
設AD=3k（k＞0）則BC=4k，
∴BE=3k，EC=BC-BE=4k-3k=k，DC=AD=3k，
由勾股定理得DE²+EC²=DC²，
即4²+k²=（3k）²，
∴k²=2，
∵k＞0，
∴k=，
∴CF=2EC=2。