Question

【題目】平面內的兩條直線有相交和平行兩種位置關系．

（1）如圖1，若AB∥CD，點P在AB、CD外部，則有∠B=∠BOD，又因∠BOD是△POD的外角，故∠BOD=∠BPD+∠D．得∠BPD=∠B﹣∠D．將點P移到AB、CD內部，如圖2，以上結論是否成立？若成立，說明理由；若不成立，則∠BPD、∠B、∠D之間有何數量關系？請證明你的結論；

（2）在如圖2中，將直線AB繞點B逆時針方向旋轉一定角度交直線CD于點Q，如圖3，則∠BPD、∠B、∠D、∠BQD之間有何數量關系？（不需證明）；

（3）根據（2）的結論求如圖4中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度數．

Answer 1

【答案】（1）不成立，結論是∠BPD=∠B+∠D（2）結論：∠BPD=∠BQD+∠B+∠D（3）∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°

【解析】（1）不成立，結論是∠BPD=∠B+∠D．

延長BP交CD于點E，

∵AB∥CD，∴∠B=∠BED，

又∵∠BPD=∠BED+∠D，∴∠BPD=∠B+∠D；

（2）結論：∠BPD=∠BQD+∠B+∠D．

連接QP并延長，

∵∠BPE是△BPQ的外角，∠DPE是△PDQ的外角，

∴∠BPE=∠B+∠BQE，∠DPE=∠D+∠DQP，

∴∠BPE+∠DPE=∠B+∠D+∠BQE+∠DQP，即∠BPD=∠BQD+∠B+∠D；

（3）由（2）的結論得：∠AFG=∠B+∠E．∠AGF=∠C+∠D．

又∵∠A+∠AFG+∠AGF=180°

∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°．

（或由（2）的結論得：∠AGB=∠A+∠B+∠E且∠AGB=∠CGD，

∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°．