Question

（2007•孝感）在我們學習過的數學教科書中，有一個數學活動，其具體操作過程是：
第一步：對折矩形紙片ABCD，使AD與BC重合，得到折痕EF，把紙片展開（如圖1）；
第二步：再一次折疊紙片，使點A落在EF上，并使折痕經過點B，得到折痕BM，同時得到線段BN（如圖2）．
請解答以下問題：
（1）如圖2，若延長MN交BC于P，△BMP是什么三角形？請證明你的結論；
（2）在圖2中，若AB=a，BC=b，a、b滿足什么關系，才能在矩形紙片ABCD上剪出符合（1）中結論的三角形紙片BMP？
（3）設矩形ABCD的邊AB=2，BC=4，并建立如圖3所示的直角坐標系．設直線BM′為y=kx，當∠M′BC=60°時，求k的值．此時，將△ABM′沿BM′折疊，點A是否落在EF上（E、F分別為AB、CD中點），為什么？

Answer 1

【答案】分析：（1）根據線段垂直平分線的性質和翻折的性質得到所求三角形的形狀；
（2）由作圖可得P在BC上，所以BC≥BP；
（3）根據所給的條件可得到M′的坐標，進而求得直線解析式，然后看點A到直線的距離是否等于假設的對應點到直線的距離．
解答：解：（1）△BMP是等邊三角形．（1分）
證明：連接AN

∵EF垂直平分AB，
∴AN=BN．
由折疊知AB=BN，
∴AN=AB=BN，∴△ABN為等邊三角形，
∴∠ABN=60°∴∠PBN=30°．（2分）
又∵∠ABM=∠NBM=30°，∠BNM=∠A=90°，
∴∠BPN=60°，
∠MBP=∠MBN+∠PBN=60°．
∴∠BMP=60°，
∴∠MBP=∠BMP=∠BPM=60°．
∴△BMP為等邊三角形．（4分）

（2）要在矩形紙片ABCD上剪出等邊△BMP，則BC≥BP（6分）
在Rt△BNP中，BN=BA=a，∠PBN=30°，
∴BP=，∴b≥，∴a≤b．
∴當a≤b時，在矩形上能剪出這樣的等邊△BMP．（8分）

（3）∵∠M′BC=60°，
∴∠ABM′=90°-60°=30°．
在Rt△ABM′中，tan∠ABM′=，
∴tan30°=，
∴AM′=．
∴M′（，2）．代入y=kx中，得k==．（10分）
設△ABM′沿BM′折疊后，點A落在矩形ABCD內的點為A′，
過A^′作A^′H⊥BC交BC于H．
∵△A^′BM′≌△ABM′，
∴∠A'BM'=∠ABM'=30°，A′B=AB=2．
∴∠A'BH=∠M'BH-∠A'BM'=30°．
在Rt△A′BH中，A′H=A′B=1，BH=，
∴，
∴A′落在EF上．（12分）
點評：本題主要考查了利用折疊得到圖形的特性以及三角函數來解決問題．