Question

如圖，⊙O的直徑AB=4，∠ABC=30°，BC=，D是線段BC的中點．
（1）試判斷點D與⊙O的位置關系，并說明理由；
（2）過點D作DE⊥AC，垂足為點E，求證：直線DE是⊙O的切線．

Answer 1

【答案】分析：（1）要求D與⊙O的位置關系，需先求OD的長，再與其半徑相比較；若大于半徑則在圓外，等于半徑在圓上，小于半徑則在圓內；
（2）要證明直線DE是⊙O的切線只要證明∠EDO=90°即可．
解答：（1）解：點D在⊙O上；理由如下：
設⊙O與BC交于點M，連接AM，
∵AB是直徑，
∴∠AMB=90°，
在直角△ABM中，BM=AB•cos∠ABC=4×=2，
∵BC=，
∴M是BC的中點，則M與D重合．
∴點D在⊙O上；

（2）證明：
連接OD，過點O作OF⊥BC于點F；
∵D是BC的中點，O是AB的中點，
∴DO是△ABC的中位線，
∴OD∥AC，則∠EDO=∠CED
又∵DE⊥AC，
∴∠EDO=90°，∠EDO=∠CED=90°
∴DE是⊙O的切線．
點評：此題主要考查了點與圓的位置關系及切線的判定．解題時要注意連接過切點的半徑是圓中的常見輔助線．