Question

【題目】已知函數f（x）=|2x+3|+|2x﹣1|． （Ⅰ）求不等式f（x）＜8的解集；
（Ⅱ）若關于x的不等式f（x）≤|3m+1|有解，求實數m的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）不等式f（x）＜8，即|2x+3|+|2x﹣1|＜8， 可化為① 或② 或③ ，
解①得﹣ ＜x＜﹣ ，解②得﹣ ≤x≤ ，解③得 ＜x＜ ，
綜合得：﹣ ＜x＜ ，即原不等式的解集為{x|﹣ ＜x＜ }．
（Ⅱ）因為∵f（x）=|2x+3|+|2x﹣1|≥|（2x+3）﹣（2x﹣1）|=4，
當且僅當﹣ ≤x≤ 時，等號成立，即f（x）min=4，
又不等式f（x）≤|3m+1|有解，則|3m+1|≥4，解得：m≤﹣ 或m≥1
【解析】（Ⅰ）通過討論x的范圍，得到關于x的不等式組，解出即可（Ⅱ）求出f（x）的最小值，解關于m的不等式，解出即可．
【考點精析】掌握絕對值不等式的解法是解答本題的根本，需要知道含絕對值不等式的解法：定義法、平方法、同解變形法，其同解定理有；規律：關鍵是去掉絕對值的符號．