Question

如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，若把△ABC沿直線DE折疊，使△ADE與△BDE重合．
（1）當∠A=35°時，求∠CBD的度數．
（2）若AC=4，BC=3，求AD的長．
（3）當AB=m（m＞0），△ABC 的面積為m+1時，求△BCD的周長．（用含m的代數式表示）

Answer 1

分析：（1）根據折疊可得∠1=∠A=35°，根據三角形內角和定理可以計算出∠ABC=55°，進而得到∠CBD=20°；
（2）根據折疊可得AD=DB，設CD=x，則AD=BD=4-x，再在Rt△CDB中利用勾股定理可得x²+3²=（4-x）²，再解方程可得x的值，進而得到AD的長；
（3）根據三角形ACB的面積可得

1

2

AC•BC=m+1，進而得到AC•BC=2m+2，再在Rt△CAB中，CA²+CB²=BA²，再把左邊配成完全平方可得CA+CB的長，進而得到△BCD的周長．

解答：解：（1）∵把△ABC沿直線DE折疊，使△ADE與△BDE重合，
∴∠1=∠A=35°，
∵∠C=90°，
∴∠ABC=180°-90°-35°=55°，
∴∠2=55°-35°=20°，
即∠CBD=20°；

（2）∵把△ABC沿直線DE折疊，使△ADE與△BDE重合，
∴AD=DB，
設CD=x，則AD=BD=4-x，
在Rt△CDB中，CD²+CB²=BD²，
x²+3²=（4-x）²，
解得：x=

7

8

，
AD=4-

7

8

=3

1

8

；

（3）∵△ABC 的面積為m+1，
∴

1

2

AC•BC=m+1，
∴AC•BC=2m+2，
∵在Rt△CAB中，CA²+CB²=BA²，
∴CA²+CB²+2AC•BC=BA²+2AC•BC，
∴（CA+BC）²=m²+4m+4=（m+2）²，
∴CA+CB=m+2，
∵AD=DB，
∴CD+DB+BC=m+2．
即△BCD的周長為m+2．

點評：此題主要考查了圖形的翻折變換，以及勾股定理，完全平方公式，關鍵是掌握勾股定理，以及折疊后哪些是對應角和對應線段．