Question

如圖△ABC中，∠BAC=90°，∠B=2∠C，D在BA上，CD平分∠ACB，若BC=2，則BD的長為

 

．

Answer 1

分析：首先過點D作DE⊥BC于E，由CD平分∠ACB，∠BAC=90°，根據角平分線的性質，即可得AD=DE，繼而求得AC=EC，又由△ABC中，∠BAC=90°，∠B=2∠C，求得∠B與∠C的度數，然后根據直角三角形的性質，求得AB與AC的長，設BD=x，求得DE與BE的長，由勾股定理即可求得等方程x²=（2-

3

）²+（1-x）²，解此方程即可求得答案．

解答：解：過點D作DE⊥BC于E，
又∵∠BAC=90°，CD平分∠ACB，
∴AD=DE（角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等），
∵∠BAC=90°，
∴∠B+∠ACB=90°，
∵∠B=2∠ACB，
∴∠B=60°，∠ACB=30°，
∵BC=2，
∴AB=

1

2

BC=1，AC=

22-1

=

3

，
∴∠ADC=∠EDC，
∴CE=AC=

3

，
設BD=x，
則AD=AB-BD=1-x，BE=BC-EC=2-

3

，
在Rt△BDE中，BD²=BE²+DE²，
即x²=（2-

3

）²+（1-x）²，
解得：x=4-2

3

，
∴BD=4-2

3

．
故答案為：4-2

3

．

點評：此題考查角平分線的性質，直角三角形的性質，勾股定理等知識．此題難度適中，解題的關鍵是注意數形結合思想與方程思想的應用，注意輔助線的作法．