Question

10．如圖，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，AC=2a，點O是AC的中點，點P是AC的任意一點，點D在BC邊上，且滿足PB=PD，作DE⊥AC于點E，設DE=x．
（1）證明：PE=OB；
（2）若△PDC的面積為y，用a，x表示y，并求當x=2時，y的值；
（3）記m=AP•PC+x²，證明：不論點P在什么位置，m的值不變．

Answer 1

分析 （1）根據在等腰直角三角形ABC中，O是斜邊AC的中點得到BO⊥AC，再根據DE⊥AC得到∠POB=∠DEP=90°，從而證明△POB≌△DEP，進而證得結論PE=BO；解時注意分P在AO上和P在OC上兩種情況討論；
（2）根據全等三角形的性質得到DE=OP=x，PE=OB=a，根據三角形的面積公式即可得到結論；
（3）根據AP•PC=（a-x）（a+x）=a²-x²，代入m=AP•PC+x²=a²，即可得到結論．

解答 解：（1）P在AO上，如圖1：
∵在等腰直角三角形ABC中，O是斜邊AC的中點，
∴BO⊥AC，
∵DE⊥AC，
∴∠POB=∠DEP=90°，
∵PB=PD，
∴∠PBD=∠PDB，
∵∠OBC=∠C=45°，
∴∠OBP+∠OBC=∠PDB=∠CPD+∠PCD，
∵∠PBD=∠PDB，
∴∠PB0=∠DPE，
在△POB與△DEP中，$\left\{\begin{array}{l}{∠POB=∠DEP}\\{∠PBO=∠DPE}\\{PB=PD}\end{array}\right.$，
∴△POB≌△DEP（AAS），
∴PE=BO；
P在OC上，如圖2，
同理PE=BO；

（2）∵△OBP≌△EPD，
∴DE=OP=x，PE=OB=a，
∴$y=\frac{1}{2}DE•PC=\frac{1}{2}x（a+x）=\frac{1}{2}ax+\frac{1}{2}{x^2}$；  

（3）∵AP•PC=（a-x）（a+x）=a²-x²，
∴m=AP•PC+x²=a²，
即不論點P在什么位置，m的值都是a²．

點評 本題考查了等腰直角三角形的性質，全等三角形的判定及性質，是一道難度較大、綜合性較強的綜合題，解題時一定要仔細審題．