Question

如圖，在△ABC中，AB=AC=5，cosB=，點P為BC邊上一動點（不與點B、C重合），過點P作射線PM交AC于點M，使∠APM=∠B．
（1）求證：△ABP∽△PCM；
（2）當∠PAM為直角時，求線段BP．

Answer 1

【答案】分析：（1）由AB=AC=5，∠APM=∠B，根據等邊對等角易得∠APM=∠B=∠C，繼而可得∠BPA=∠CMP，然后由有兩角對應相等的三角形相似，即可證得△ABP∽△PCM；
（2）首先設BP=x，作AD⊥BC于D．由cosB=，易求得BD=CD=4，AD=3，易證得△APD∽△CAD，然后由相似三角形的對應邊成比例，即可求得線段BP的長．
解答：（1）證明：∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵∠APM=∠B，
∴∠APM=∠B=∠C，
∵∠CMP=∠PAM+∠APM，∠BPA=∠PAM+∠C，
∴∠BPA=∠CMP，
∴△ABP∽△PCM；

（2）解：設BP=x，作AD⊥BC于D．
∵AB=AC=5，
∴BD=CD，
∵cosB=，
∴，
∴BD=CD=4，
∴AD=3，
∵∠PAD+∠CAD=90°，∠C+∠CAD=90°，
∴∠PAD=∠C，
又∵∠PAC=∠ADP，
∴△APD∽△CAD，
∴，
即，
解得：x=，即BP=．
點評：此題考查了相似三角形的判定與性質、等腰三角形的性質、三角函數的定義以及勾股定理．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意數形結合與方程思想的應用．