Question

在平面直角坐標系xOy中，拋物線y= -x²+x+m²-3m+2x軸的交點分別為原點O和點A，點B(2，n)在這條拋物線上。

   (1) 求點B的坐標；

   (2) 點P在線段OA上，從O點出發向點運動，過P點作x軸的垂線，與直線OB交于點E。延長PE到點D。使得ED=PE。以PD為斜邊在PD右側作等腰直角三角形PCD(當P點運 時，C點、D點也隨之運動)

      j 當等腰直角三角形PCD的頂點C落在此拋物線上時，求OP的長；

      k 若P點從O點出發向A點作勻速運動，速度為每秒1個單位，同時線段OA上另一

         點Q從A點出發向O點作勻速運動，速度為每秒2個單位(當Q點到達O點時停止

         運動，P點也同時停止運動)。過Q點作x軸的垂線，與直線AB交于點F。延長QF

         到點M，使得FM=QF，以QM為斜邊，在QM的左側作等腰直角三角形QMN(當Q

         點運動時，M點，N點也隨之運動)。若P點運動到t秒時，兩個等腰直角三角形分

         別有一條直角邊恰好落在同一條直線上，求此刻t的值。

 

Answer 1

解：(1) ∵拋物線y= -x²+x+m²-3m+2經過原點，∴m²-3m+2=0，解得m₁=1，m₂=2，

          由題意知m¹1，∴m=2，∴拋物線的解析式為y= -x²+x，∵點B(2，n)在拋物線

          y= -x²+x上，∴n=4，∴B點的坐標為(2，4)。

    (2) j 設直線OB的解析式為y=k₁x，求得直線OB的解析式為

          y=2x，∵A點是拋物線與x軸的一個交點，可求得A點的

          坐標為(10，0)，設P點的坐標為(a，0)，則E點的坐標為

          (a，2a)，根據題意作等腰直角三角形PCD，如圖1。可求

          得點C的坐標為(3a，2a)，由C點在拋物線上，得

          2a= -´(3a)²+´3a，即a²-a=0，解得a₁=，a₂=0

          (舍去)，∴OP=。

       k 依題意作等腰直角三角形QMN，設直線AB的解析式為y=k₂x+b，由點A(10，0)，

          點B(2，4)，求得直線AB的解析式為y= -x+5，當P點運動到t秒時，兩個等腰

          直角三角形分別有一條邊恰好落在同一條直線上，有以下三種情況：

          第一種情況：CD與NQ在同一條直線上。如圖2所示。可證△DPQ為等腰直角三

              角形。此時OP、DP、AQ的長可依次表示為t、4t、2t個單位。∴PQ=DP=4t，

              ∴t+4t+2t=10，∴t=。

          第二種情況：PC與MN在同一條直線上。如圖3所示。可證△PQM為等腰直角三

              角形。此時OP、AQ的長可依次表示為t、2t個單位。∴OQ=10-2t，∵F點在

              直線AB上，∴FQ=t，∴MQ=2t，∴PQ=MQ=CQ=2t，∴t+2t+2t=10，∴t=2。

          第三種情況：點P、Q重合時，PD、QM在同一條直線上，如圖4所示。此時OP、

              AQ的長可依次表示為t、2t個單位。∴t+2t=10，∴t=。綜上，符合題意的

              t值分別為，2， 。