Question

正整數系數二次方程ax²+bx+c=0有有理數根，則a，b，c中（ ）
A．至少有一個偶數
B．至少有一個質數
C．至少有一個奇數
D．至少有一個合數

Answer 1

【答案】分析：設△=b²-4ac=m²，m是整數．先假設a，b，c全為奇數，令b=2n+1，ac=2k+1，然后變形△，得到8的倍數減3，這與奇數m的平方是8的倍數加1矛盾，得到A對；再通過特例否定B，C，D．
解答：解：A、因判別式△=b²-4ac=m²，m是整數．若a，b，c全為奇數，則ac和m也為奇數．令b=2n+1，
ac=2k+1，則△=8[]-3，這與奇數m的平方是8的倍數加1矛盾．則a，b，c全為奇數不成立，
所以A對．
B、方程4x²+8x+4=0有有理數根，則B錯；
C、方程2x²+4x+2=0有有理數根，則C錯；
D、方程3x²+5x+2=0有有理數根，則D錯；
故答案為A．
點評：本題考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0，a，b，c為常數）根的判別式△=b²-4ac．當△為完全平方數時，方程有有理數根．同時考查了奇數，偶數，質數和合數的定義．