Question

如圖，在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的⊙O交BC于點M，MN⊥AC于點N．
（1）求證：MN是⊙O的切線；
（2）若∠BAC=120°，AB=2，求圖中陰影部分的面積．

Answer 1

【答案】分析：（1）有切點，需連半徑，證明垂直，即可；
（2）求陰影部分的面積要把它轉化成S_梯形ANMO-S_扇形OAM，再分別求的這兩部分的面積求解．
解答：（1）證明：連接OM．
∵OM=OB，
∴∠B=∠OMB．
∵AB=AC，
∴∠B=∠C．
∴∠OMB=∠C．
∴OM∥AC．
∵MN⊥AC，
∴OM⊥MN．
∵點M在⊙O上，
∴MN是⊙O的切線．（5分）

（2）解：連接AM．
∵AB為直徑，點M在⊙O上，
∴∠AMB=90°．
∵AB=AC，∠BAC=120°，
∴∠B=∠C=30°．
∴∠AOM=60°．
又∵在Rt△AMC中，MN⊥AC于點N，
∴∠AMN=30°．
∴AN=AM•sin∠AMN=AC•sin30°•sin30°=．
∴MN=AM•cos∠AMN=AC•sin30°•cos30°=．  （8分）
∴S_梯形ANMO=，
S_扇形OAM=，
∴S_陰影==-．    （11分）
點評：本題考查的是切線的判定即利用圖形分割法求不規則圖形面積的思路．